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Cálculo: Integral Definida



Integral Definida

Integral que possui limites de integração (\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)), onde \(a\) é o limite inicial e \(b\) o intervalo final. O resultado é um valor.


Ideia intuitiva

Considere uma curva:

Para calcular a área S entre os intervalos a e b, dividimos a área em pedaços infinitamente finos. Então somaremos estes pedaços de modo a obter o valor da área.


Cálculo

Considere por exemplo:

\(\int_{1}^{2}x^3{dx}\)

Tomaremos a fórmula que aprendemos para integrais indefinidas:

\(\int{x^p}dx =\frac{x^{p+1}}{p+1}+C\)

Neste caso, C não será considerado porque a integral é definida. Desta forma:

\(\frac{x^{3+1}}{3+1}=\)

\(\frac{x^{4}}{4}\)

Agora realiza-se a substituição de x pelos valores dos limites e subtraem-se as funções obtidas:

\(\frac{2^{4}}{4}-\frac{1^{4}}{4}=\)

\(\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\)

\(\frac{15}{4}\)


Exemplos

\(\int_{1}^{2}(2x)dx\)

\(=\frac{2x^{1+1}}{2}\)

\(=\frac{2x^2}{2}\)

\(=x^2\)

\(=(2^2)-(1^2)\)

\(=4-1\)

\(=3\)


\(\int_{1}^{4}(2\sqrt{x})dx\)

\(=2*(x^{\frac{1}{2}})\)

\(=2*(\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1})\)

\(=2*(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}})\)

\(=\frac{4}{3}\sqrt{x^3}\)

\(=\frac{4}{3}\sqrt{4^3} -\frac{4}{3}\sqrt{1^3} \)

\(=\frac{4}{3}\sqrt{64} -\frac{4}{3}\sqrt{1} \)

\(=\frac{4}{3}*8 -\frac{4}{3}*1 \)

\(=\frac{32}{3} -\frac{4}{3} \)

\(=\frac{28}{3}\)



Para citar este artigo

REVISTABW. Cálculo: Integral Definida.Revista Brasileira de Web: Tecnologia. Disponível em http://www.revistabw.com.br/revistabw/calculo-integral-definida/. Criado em: 16/08/2017. Última atualização: 06/01/2018. Visitado em: 02/06/2018


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